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Rückwärtsrechnen

„Deutschlands Superhirn“ am 15.09.2016 im ZDF
(letzte Bearbeitung am 20.09.16, Seite noch im Aufbau)

Ein Kandidat dieser Ausgabe der ZDF-Sendung Superhirn war der 76-jährige Willem Bouman aus den Niederlanden. Willem Bouman hat mehrere Rechen-Weltrekorde aufgestellt und bezeichnet sich selbst als Rechengenie.

Die Aufgabe des Kandidaten bestand darin aus 90 zehnstelligen Zahlen die beiden zu finden, von denen er nur die Summe und das Produkt kennt - er bekommt also nur die Ergebnisse der Addition und der Multiplikation gezeigt. Willem Bouman wird laut Moderator Steven Gätjen durch kompliziertes Zurückrechnen die ersten vier bis fünf Stellen der gesuchten Zahlen eingrenzen, um diese dann mit den 90 zehnstelligen Zahlen abzugleichen und so die richtigen Ausgangszahlen finden. Dabei darf der Kandidat keinen Fehler machen. Rechenwege darf er sich notieren.

Die 90 in Frage kommenden Zahlen sind in 9 Gruppen je 10 Zahlen eingeteilt die jeweils die gleiche Anfangsziffer haben (1 bis 9, keine 0)..

Die beiden Zahlen werden von einer Zuschauerin ausgewählt. Welche dabei gezogen wurden steht erst später auf dieser Seite ...
Das Ergebnis der Addition lautet: 15.953.373.869
Das Ergebnis der Multiplikation lautet: 60.887.981.449.134.726.700

Aktuell kann das Video der Sendung noch in der ZDF-Mediathek angesehen werden.

Beispiel

Das folgende Beispiel zeigt eine Aufgabe mit kleineren Zahlen. Aus den Zahlen 12 und 15 werden folgende Ergebnisse errechnet:
12 * 15 = 180
12 + 15 = 27
Der Kandidat müßte nun aus den Zahlen 180 und 27 die beiden Zahlen herausfinden die miteinander multipliziert 180 und zusammen addiert 27 ergeben - also 12 und 15.

Ausschlussverfahren aufgrund 1. Ziffer

Da das Ergebnis der Addition eine Stelle mehr hat kann man anhand der ersten beiden Stellen des Ergebnisses der Addition bereits einige Zahlen ausschließen. Die ersten beiden Stellen haben den Wert 15. Die höchste mögliche Ziffer für die erste Stelle ist die 9. Um auf 15 zu kommen müssen wir 6 hinzuaddieren. Es kann jedoch bei der Addition von 2 Zahlen zu einem Übertrag von 1 kommen, so dass auch die 5 möglich ist. Ist die 9 nicht enthalten muss bei einer 8 die 1. Ziffer der 2. Zahl entsprechend größer sein. Es sind also folgende Kombinationen möglich:

9 - 5/6
8 - 6/7
7 - 7/(8)
(6) - (8)/(9)
(5) - (9)

Dabei wurden Zahlen eingeklammert, die zu bereits aufgeführten Kombinationen führen (7-8 in Zeile 3 ist identisch mit 8-7 in Zeile 2 usw.).
Ohne die doppelten Kombinationen bleiben:

9 - 5
9 - 6
8 - 6
8 - 7
7 - 7

Alle Zahlen mit einer 1 bis 4 als erste Ziffer kommen daher bereits nicht mehr in Frage. Es bleiben als 50 Zahlen zur Auswahl.

Letzte Ziffern analysieren

Die letzte Ziffer der Summe laufet 9, die letzte Ziffer des Produktes 0.

Zunächst können wir feststellen dass die letzten Ziffern der beiden Summanden ohne Übertrag 9 ergeben, da ansonsten das Ergebnis der Addition dieser Ziffern 19 lauten müßte. Da die größte Ziffer die 9 ist können wir jedoch maximal 9+9, also 18 erreichen. 19 könnten wir nur erreichen wenn es einen Übertrag aus der Addition der zuvor addierten Ziffern gibt - da wir die letzten Ziffern addieren ist jedoch kein Übertrag möglich.

Wir suchen also zwei Ziffern die als Summe 9 und als Produkt eine Zahl mit einer 0 am Ende ergeben (also ein vielfaches von 10). Für eine der beiden Ziffern kommen als einzige die Werte 0 oder 5 in Frage, da für eine Multiplikation die 10 oder ein vielfaches davon ergeben soll immer mindestens ein Faktor 5 oder 0 ist. Da die beiden Ziffern zusammen 9 ergeben müssen kommen folgende Paare in Frage:
1) 0 / 9
2) 5 / 4

Betrachten wir nun die letzten beiden Ziffern. Beim Produkt lauten diese 00. Theoritisch würden nun alle 2stelligen Zahlen die mit 5 oder 0 enden für einen der beiden Faktoren in Frage kommen. Bei den Zahlen 10, 20 usw. bis 90 für den 1. Faktor müßte der 2. Faktor allerdings auch mit 0 enden, da ansonsten keine Zahl mit 2 Nullen am Ende herauskommt. Nur wenn ein Faktor bereis 2 Nullen am Ende besitzt kann der 2. Faktor auch eine andere Zahl sein die keine 0 am Ende hat.
Auch wenn ein Faktor eine 5 am Ende hat muss in den meisten Fällen der 2 Faktor eine 0 am Ende haben. Bei den Werten 5, 15, 35, 45, 55, 65, 85 und 95 lautet der kleinste Wert für den 2. Faktor um auf ein Ergebnis mit 2 Nullen am Ende zu kommen immer 20. Nur bei 25 und 75 für den 1. Faktor ist der kleinste Wert 4. Da auch ein Vielfaches von 20 immer eine 0 am Ende hat ist somit für alle Werte mit einer 5 als letzte Ziffer für den 1. Faktor außer bei den Werten 25 und 75 kein 2. Faktor möglich bei dem dann die Summe der beiden letzten Ziffern 9 ergibt.
In Frage kommen kommen bei einer 25 oder 75 am Ende beim 1. Faktor also Zahlen die eine 4 am Ende haben Zahlen die ein Vielfaches von 4 sind. - (8, 12, 16, 20, 24, 28...). Jedoch kommt man nur mit einer 4 am Ende auf die Summe 69 bzw. 169. In Frage kommen würden die Zahlen 44 (+ 25 = 69) und 94 (+ 75 0 169). Da jedoch 94 kein Vielfaches von 4 ist bleibt nur die 44 über. Somit ergeben sich folgende Möglichkeiten für die beiden letzten beiden Ziffern der beiden Faktoren:

1) 00 / 69
2) 25 / 44

Lösungsversuch

Mit dem bisherigen Ergebnis sind wir zwar weit davon entfernt die Aufgabe rechnerisch zu lösen, um aus den noch verbleibenden 50 Zahlen die richtigen zu finden könnte es aber durchaus schon reichen. Tatsächlich finden sich 5 Zahlen für die erste mögliche Zahl des Zahlenpaares mit 00 oder 25 am Ende. Wie oben dargestellt kommen für die 2. Zahl je nach Anfangsziffer der 1. Zahl nur 1 oder 2 Ziffern in Frage. Als Ergebnis kommen 4 Zahlen für die 1. Zahl in Frage. Für die 2. Zahl wird jedoch nur in einem Fall eine passende Zahl gefunden:

1. Zahl mit 00, 25 oder 75 am Ende Anfangsziffer der 2. Zahl Endziffer der 2. Zahl Gefundene mögliche Zahlen für 2. Zahl
5.518.972.100 9 69 -
6.321.527.425 8,9 44 9.631.846.444
8.725.644.900 6,7 69 -
9.811.440.200 5,6 69 -

Damit haben wir nach den Regeln der ZDF-Sendung die Aufgabe gelöst. Es sei aber angemerkt dass der Kandidat von der Möglichkeit auf diese Art und Weise zum richtigen Ergebnis zu kommen keinen Gebrauch gemacht hat.

Die Rechnung des Kandidaten

Der Kandidat hat folgendes auf der Tafel geschrieben:

69 = 00
44 = 25

1595/2 = 798^2 = 636804
- 608879
= 27925 = 167

798 + 167 = 965
798 - 167 = 631

Ergebnis

Die beiden gezogenen Zahlen lauten:
1) 6.321.527.425
2) 9.631.846.444

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