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Das Ziegenproblem
(Seite im Aufbau, letzte Bearbeitung am 06.08.16)
Einleitung
Der Quiz-Kandidat einer TV-Spielshow sieht drei geschlossene Türen 1, 2 und 3. Hinter einer verbirgt sich eine nagelneues Auto - hinter den anderen beiden jeweils - als Niete - eine Ziege. Der Kandidat darf eine Tür wählen und erhält dann den dahinter befindlichen Preis. Er wählt beispielsweise Tür 1. Daraufhin schaut der Moderator nach was sich hinter den Türen befindet. Er öffnet Tür 3 und eine Ziege kommt zum Vorschein. Nun bietet der Moderator dem Kandidaten an, seine Wahl nochmal zu ändern und Tür 2 zu wählen.
Das Ziegenproblem wurde Anfang der 90er Jahre durch einen Artikel der amerikanischen Journalistin Marilyn vos Savant in der Zeitschrift Parade bekannt. Marilyn vos Savant vertrat dabei die Ansicht, der Kandidat sollte die Tür wechseln um seine Chancen auf den Gewinn zu erhöhen. Daraufhin bekam Sie unzählige - teilweise böse - Briefe in denen diese Ansicht vehement als falsch dargestellt wurde. Das Ziegenproblem wurde durch diese Kontroverse Anfang der 90er Jahre weltweit bekannt und viel diskutiert. Marilyn vos Savan wurde n den 80er Jahren vom Guiness Buch der Rekorde mehrfach zur klügsten Frau der Welt gekürt.
Ursprünglich geht das Ziegenproblem auf einen Leserbrief des Biostatistiker Steve Selvin von 1975 zurück. Abgeleitet wurde das Ziegenproblem vermutlich vom "Drei-Gefangenen-Problem" das Martin Gardner 1959 veröffentlichte und das vermutlich vom "Drei-Kasten-Problem" von Joseph L. F. Bertrand ( Bertrands Schachtelparadoxon) abgeleitet wurde.
Was soll der Kandidat tun?
Die Antwort erscheint eigentlich recht einfach: Zunächst beträgt die Chance, die richtige Tür zu wählen 1:2 bzw. 33,33 %. Nachdem die Tür mit der Ziege geöffnet wurde sind nur noch 2 geschlossene Türen vorhanden und hinter jeder der beiden könnte sich das Auto befinden. Die Chance beträgt demnach 1:1 bzw. 50% für beide Türen. Es gibt demnach keinen Grund zu wechseln.
Eigentlich ganz einfach - wo soll da das Problem liegen (und warum zeigt der Scrollbalken auf der linken Seite an, dass diese Seite noch sehr viel mehr dazu enthält als Sie bis hierhin gelesen haben) ?
Stimmts?
Nein - sagt Marilyn vos Savant. Wir erhöhen unsere Chancen auf das Auto von 1/3 auf 2/3 wenn wir die Tür wechseln. Tür Nummer eins hat eine Ein-Drittel-Chance. Öffnet der Quizmaster Tür 3 mit der Ziege fällt diese Tür für die richtige Antwort aus und für Tür 2 verbleibt eine Zwei-Drittel-Chance. Anders erklärt: Der Fall, daß sich hinter Tür zwei oder Tür drei das Auto befindet hat eine Wahrscheinlichkeit von zwei zu drei (2/3). Diesen Wert kann aber nur Tür zwei bekommen da sich hinter Tür drei die Ziege befindet.
Stimmts?
Ist damit nun das Ziegenproblem gelöst? Nun - ganz so einfach ist es nicht, denn eine wesentliche Tatsache wird dabe ignoriert: Dass der Moderator eine der verbleibenden Türen öffnet ist zuvor nicht bekannt. Wer derartige Shows schon gesehen hat, weiss das die jeweiligen Moderatoren nach der Wahl meistens "kreative Angebote" machen um die Kandidaten zu beeinflußen bzw. zum Wechsel zu bewegen. Oft wird beispielsweise eine bestimmte Summe Bargeld geboten wenn man die Tür wechselt. Die obige 2/3-Lösung funktioniert aber nur, wenn bereits vor der Wahl des Kandidaten bekannt ist, dass der Moderator anschließend eine der verbeleibenden Türen mit einer Ziege öffnet. Dies ist aber weder der Fragestellung zu entnehmen noch ist es eine realistische Annahme.
Der Zeitfaktor
Nachfolgend werden die einzelnen Bestandteile der Fragestellung noch einmal in zeitlich richtiger Reihenfolge aufgeführt. Wir gehen davon aus dass der Kandidat um 20:00 Uhr die Spielregeln erklärt bekommt und die weiteren "Aktionen" im Abstand von 1 Minute erfolgen.
Die 2. und 3. Spalte zeigen dabei die Aktionen und Gewinn-Chancen bei der "ursprünglichen" Fragestellung. Die 3. und 4. Spalte enthält die Aktionen und Gewinn-Chancen wenn das Verhalten des Moderators (Tür mit Ziege öffnen und Kandidaten Wechsel zur anderen geschlossenen Tür erlauben) bereits vorher bekannt ist. Dafür müßte jedoch zuvor die Fragestellung geändert werden!
| Zeit | Aktion | Gewinn-Chancen | Aktion für 2/3-Lösung | Gewinn-Chancen bei 2/3-Lösung |
|---|---|---|---|---|
| 20:00 | Dem Kandidaten werden die Spielregeln erklärt: Er darf eine von drei verschlossenen Türen wählen. Hinter einer befindet sich ein Auto als Gewinn, hinter den anderen beiden eine Ziege als Niete. | Die Chance das Auto zu gewinnen beträgt für alle 3 Türen jeweils 1/3. | Dem Kandidaten werden die Spielregeln erklärt: Er darf eine von drei verschlossenen Türen wählen. Hinter einer befindet sich ein Auto als Gewinn, hinter den anderen beiden eine Ziege als Niete. |
Die Chance das Auto zu gewinnen beträgt für alle 3 Türen jeweils 1/3. |
| 20:01 | - | - | Der Kandidat wird über folgendes informiert: Der Moderator (der weiss was sich hinter den jeweiligen Türen befindet) öffnet nach der Wahl des Kandidaten eine der beiden anderen Türen mit einer Ziege dahinter und erlaubt dem Kandidaten statt der gewählten Tür die andere noch geschlossene Tür zu wählen. |
" |
| 20:02 | Der Kandidat wählt (beispielsweise) Tür 1 | Die Chance das sich hinter Tür 1 das Auto befindet beträgt demzufolge ebenfalls 1/3. | Der Kandidat wählt (beispielsweise) Tür 1 | Die Chance das sich hinter Tür 1 das Auto befindet beträgt demzufolge ebenfalls 1/3. |
| 20:03 | Der Moderator (der weiss was sich hinter den jeweiligen Türen befindet) öffnet eine der beiden anderen Türen mit einer Ziege dahinter. | Die Chance das Auto zu gewinnen beträgt für die 2 noch verschlossenen Türen jeweils 1/2. | Der Moderator (der weiss was sich hinter den jeweiligen Türen befindet) öffnet eine der beiden anderen Türen mit einer Ziege dahinter. | Die Chance das Auto zu gewinnen beträgt für Tür 2 nun 2/3, für Tür 1 beträgt die Chance nur noch 1/3. |
| 20:04 | Der Moderator bietet dem Kandidaten an, seine Wahl nochmal zu ändern - also zur anderen verschlossenen Tür 2 zu wechseln | Die Chance beim Wechsel zu Tür 2 das Auto zu gewinnen beträgt demzufolge 1/2 - die Chance beim Verbleib bei Tür 1 beträgt ebenfalls 1/2. | Der Moderator bietet dem Kandidaten an, seine Wahl nochmal zu ändern - also zur anderen verschlossenen Tür 2 zu wechseln | " |
| 20:05 | Der Kandidat wählt Tür 1 oder Tür 2 |
Für die 2/3-Lösung ist zwingend nötig, das der Kandidat bereits vorher über die weitere Vorgehensweise des Moderators informiert wird. Dies wurde um 20:01 Uhr eingefügt. Im "Normalfall" ändert sich die Gewinnchanche von 1/3 für alle 3 Türen um 20:00 Uhr in 1/2 für die 2 verbleibenden Türen um 20:03 Uhr.
Mathematische Denksportaufgaben sind generell nur sinnvoll lösbar, wenn man nicht von zusätzlichen Angaben ausgeht die dem "Normalfall" widersprechen. Ansonsten müßte man sämtliche Knobelaufgaben mit seitenweisen Informationen zu allen möglichen Zusatzannahmen erweitern. Beim Ziegenproblem kann daher davon ausgegangen werden, dass der Moderator nach der Wahl des Kandidaten entscheidet ob und was er dem Kandidaten anbietet.
Stimmts?
Es ist also egal ob wir die Tür wechseln oder nicht? Nur weil das auf dieser ziemlich unbekannten Seite behauptet wird sollen wir davon ausgehen dass die Wahrscheinlichkeit für beide möglichen Türen gleich sind?
Renommierte Autoren und Wissenschaftler haben sich klar auf die Seite von Marilyn vos Savant gestellt und propagieren die 2/3-Lösung. Auch die allermeisten bekannten Medien wie beispielsweise die Zeit, der Spiegel bis hin zu "Spektrum der Wissenschaft" vertreten diese Meinung.
Sich für die hier veröffentlichte Lösung zu entscheiden macht aber nur dann Sinn, wenn wir 100-prozentig davon überzeugt sind, dass die 1/2-Lösung die richtige ist. Oder - besser formuliert - dass die Wahrscheinlichkeik für diese Lösung 100% beträgt. Schließlich ist die Wahrscheinlichkeit das Auto zu gewinnen für beide verbleibenden Türen jeweils 50%. Gehen wir nun von einer Wahrscheinlichkeit, dass die 1/2-Lösung die richtige ist, von "nur" 99% aus und mit einer Wahrscheinlichkeit von 1% davon aus dasss die 1/3-Lösung richtig ist, beträgt die Gewinn-Wahrscheinlichkeit für die ursprünglich gewählte Tür 1 bereits weniger als 50%.
| Zeit | 1/2-Lösung, Tür 1 | 1/2-Lösung, Tür 2 |
|---|---|---|
| Gewinn-Wahrscheinlichkiet 1/2- Lösung (%) | 50 | 50 |
| Gewinn-Wahrscheinlichkiet 2/3- Lösung (%, gerundet) | 33,3 | 66,7 |
| Vermutete Wahrscheinlichkeit für jeweilige Lösung | 99 | 1 |
| Errechnete Gesamtwahrscheinlichkeit | ( (50*99) + (33,3*1) ) / 100 |
( (50*99) + (66,7*1) ) / 100 = (4950 + 66,7) / 100 = 5016,7 / 100 = 50,167 % |
Bei der erechneten Gesamtwahrscheinlichkeit muss durch 100 geteilt werden weil wir 2 Prozentzahlen miteinander verknüpfen. Bei einen Wechsel zu Tür 2 haben wir also eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 50,167 %
Stimmts?
... (wird fortgesetzt, 02.08.2016)